第3章：期权策略概览
本书中所描述的大多数对冲策略都是期权结构。它们依赖于买卖不同行权价和到期日的看涨期权与看跌期权的组合。我们主要关注的是发掘能够以低成本提供保护的对冲策略。在本章中，我们将对期权进行非技术性的概述，为第4章和第5章中将要剖析的对冲策略做准备。我们无意推导Black–Scholes公式或任何其他定价公式，而是将Black–Scholes公式作为一种调整不同行权价和到期时间的方法来使用。价值将以隐含波动率这一"货币"来表达。对不同行权价和到期日进行标准化处理，可以帮助我们判断哪些期权偏贵、哪些期权便宜。我们从看跌期权和看涨期权的最简描述开始，然后过渡到更复杂的结构，如价差组合、蝶式组合和比率组合。我们的最终目标是"对症下药"，即找到最适合特定市场环境的对冲结构。我们需要一些时间才能深入到针对不同市场状态的特定分析中去。本章提供了必要的背景知识。请注意，我们将主要关注交易所交易的期货和期权，因为它们更容易分析，也更容易在精确、及时的价格上进行交易。
期权合约有着悠久且多样的历史，可能可以追溯到古希腊，此后延续到17世纪的英国及之后的美国。期权市场的腾飞可能始于公司开始为股票和债券发行添加甜头的时候。例如，在1840年代，纽约与伊利铁路公司发行了有记录以来最早的几只可转换债券之一。如果股票价格上涨足够多，这些债券可以交换或"转换"成为股票。换句话说，债券中嵌入了一个看涨期权。这对公司很有吸引力，因为债券可以以相对较低的收益率发行。与此同时，投资者也热衷于持有能够参与市场上涨的债券。能够产生活跃的双边市场，是新工具取得成功的最大机会。合约既有天然的买方，也有天然的卖方。如今，看涨期权和看跌期权代表着一场拉锯战：一方是需要为现有投资组合购买保险的对冲者，另一方是想进行方向性博弈或交易波动率的投机者。
基本构件：看涨期权与看跌期权
为了把概念讲得更清楚，我们在本节需要使用一点数学。Derman（1996）曾提到，Fischer Black希望一篇介绍Black–Derman–Toy模型的入门文章完全不包含任何公式，而是专注于培养必要的直觉。虽然我们在本章中未能达到Black的理想标准，但我们会尽量减少对复杂公式和方程式的使用。整个行业都在做这件事，我们无意重新发明轮子。如果读者希望获得偏重数学但依然务实的期权理论处理方式，可以参考Wilmott（2013）。现在，让我们从看涨期权和看跌期权开始，因为它们是最基础的交易所交易期权类型。
具有丰富期权策略背景知识的读者可以直接跳到本章后面的"风险资产的偏斜动力学"一节。
看涨期权和看跌期权是具有标准化特征的金融合约。看涨期权的所有者有权在到期日以预定价格X买入资产。X被称为期权行权价。看跌期权的所有者有权以预定价格X卖出资产。然而，无论哪种情况，都没有必须执行的义务。在实践中，只有当市场价格S(t) > X时，你才会以价格X买入资产。否则，你完全可以在市场上以更低的价格买入。本质上，你是在押注价格会上涨到行权价之上。类似地，只有当S(t) < X时，你才会以X卖出。单独来看，看涨期权代表看涨押注，看跌期权代表看跌押注。纯看涨期权的所有者最希望看到的就是标的资产价格从当前到时间T期间一路飙升。这将使他们能够以X买入，然后以高得多的价格把资产抛向市场。看涨期权在到期日的收益如图3.1所示。
图3.1 看涨期权在到期日的收益形态
只要现货价格跌破下方的行权价，看跌期权就能产生正收益，如图3.2所示。
图3.2 看跌期权多头在到期日的收益形态
花一些时间仔细体会一下这些"冰球棍"形状的收益曲线是值得的，因为曲线中弯曲的那部分正是期权有趣且重要的地方。在这两种情况下，曲线斜率的不连续性都出现在行权价X处。虽然期权交易者通常不会持有至到期，但到期收益对看涨或看跌期权的价值随时间演化有着重要影响。我们现在以看涨期权作为基准情况。看涨期权在到期日的价值为 。你获得的是资产价格减去行权价与0两者之间的较大值。这个量也被称为看涨期权的到期收益。这意味着，一旦你买入了看涨期权，你的最大损失是0，而潜在收益在理论上是无限的。这并不是说我们建议您每次交易都能获利。你需要先收回看涨期权的初始成本，才能实现利润。
类似地，看跌期权在到期日的价值为 。收益曲线在 处的拐点引入了非线性。这为什么重要？它使看涨或看跌期权的所有者能够从市场出现的大幅且意外的波动中获益。 的可能结果分布越广，看涨或看跌期权的收益潜力就越大。由于损失是被严格限制的，看跌期权和看涨期权的价格应该随着不确定性的增加而同步上涨。用Taleb（2012）那非正统而又富有感染力的话来说，看跌期权和看涨期权是"反脆弱的"。它们从混乱中获利。 变得越狂野、越不可预测，就越好。我们可以通过一个简单的例子来说明这一观点。该例子依赖一个由单次硬币抛掷产生的"二项式"结果。
- 假设我们买入一个标的股票当前交易价格为100的看涨期权，并对股价可能的走向做一些假设。
- 有两种情景。第一种情景，有50%的概率股票将落到90，50%的概率股票将在时间 达到110。第二种情景，分布更宽。有50%的概率 ，50%的概率 。在图3.3中，我们同时勾勒了这两种情景。
图3.3 具有可变波动率的单步二项式模型
- 两种情况下 的期望值相同，例如 。然而，该看涨期权在情景1中价值 ，在情景2中价值10。情景2对该看涨期权所有者具有更高的情景平均收益，因此应该更值钱。
这有力地表明，随着人们对结果范围的认知扩大，看涨和看跌期权的价格会上升。如果我们用一个连续的收益分布来替代离散的价格树，情况是完全一样的。我们以最简单的连续情况为例，假设收益服从正态分布。回想一下，正态分布完全由两个参数确定：均值和标准差。经过反复实验，收益落在经典的"钟形曲线"之下。在这种情况下，不确定性完全由参数σ编码。如果我们对标准差进行适当的标准化，以调整不同时间尺度下的变异，我们最终会得到一个用σ表示的量。σ通常被称为收益的波动率。这是一个极其重要的量，因为它在最基础的层面上度量风险。看涨期权和看跌期权的价格都随波动率的上升而上涨。无需证明，我们在图3.4中绘制了不同波动率水平下看涨期权的收益曲线。
图3.4 德国国债期货看涨期权对波动率变化的敏感度
为了具体起见，我们在图3.4中聚焦于德国国债（Bund）期货期权。任何标的资产的看涨期权都具有相同的定性收益特征。
由于看涨或看跌期权的收益曲线在到期日会收敛为一个分段线性函数，它在接近到期日的过程中必须在行权价 处变得越来越弯曲。注意，分段线性函数仅仅是一组拼在一起的直线段。
非线性的收益带来了一些复杂性。期权对 的小幅变化可以有多种不同的响应方式，具体取决于 相对于 的位置。如果 远低于 ，看涨期权对现货价格几乎没有敏感度。那一段的收益曲线实在太平坦了。另一方面，如果 远高于 ，看涨期权将与标的资产价格几乎同步变动。稍后，我们将发现期权中可变的风险敞口会导致对冲结构的动力学特性随着时间发生剧烈变化。我们在理解更复杂的对冲结构之前，需要先理解基本的或"普通香草"期权的变色龙般的特性。
一个固定的期权对价格和到期时间变化的响应可能高度多变。我们如何量化一个期权在 、 或其它可能决定期权价格的因素被扰动时会变动多少？扰动 意味着我们只让它变动很小的量。这是一个在数学上具有深远的含义的术语。如果你稍微改变系统中的参数，会有影响吗？扰动分析的直接方法是计算所谓的"希腊字母"。希腊字母在局部度量期权对各种因素的敏感度。对于现货或其他量更大的变动，期权价格的实际变动可能远超常用希腊字母的预测。假设我们有一个对看涨和看跌期权定价的公式。在本章后文中，我们将介绍Black–Scholes定价模型，但目前任何公式都可以。如果我们使用的是不同于市场的惯例，我们的希腊字母可能与市场的不同，但它们仍然是被良好定义的。如果我们想估计对 的敏感度，我们只需要扰动 ，然后重新对期权定价，计算收益曲线在 处的斜率。这就告诉了我们，当标的价格发生小幅变动时，看涨期权可能变动多少。这个斜率被称为期权delta，具体而言，。 是扰动的大小。数学家们喜欢给看似枯燥的函数和方程式注入情感内涵，在这里我们跟随他们的做法。Δ之所以能被明确定义，是因为C作为S的函数是"行为良好的"——至少在到期日之前是如此。无论 多小，C作为S的函数的斜率永远不会爆炸。类似地，我们可以估计C对σ的敏感度。我们已经看到看跌和看涨期权从混乱、无序和不确定性中获益，下面我们将量化这一概念。σ——市场所共识的S的波动率——将风险这多种多样的概念压缩为单一的数字。如果我们把C(S)重写为C(S, σ)，我们可以通过固定S并扰动σ，然后计算斜率来定义vega。Theta，θ，指期权的时间衰减。它的正式定义为看涨期权的 ，看跌期权的 。约定俗成的做法是将dt设为1天，这样θ度量的就是在什么都没发生的情况下你每天会损失多少。对大多数期权而言，delta、vega和theta扮演着重要角色。在极端情况下，其他希腊字母可能会发挥作用。接近到期日时，gamma可能扮演重要角色。Gamma，γ，有时被称为"delta的delta"，因为它度量的是delta在现货价格发生微小变化时的变动程度。特别是，。
如果γ很小，收益函数在局部相当平直。风险随现货价格的变化几乎呈线性。相反，高gamma期权的盈亏可能随着现货价格的变动而发生剧烈变化。接近平值（ATM）的短期期权具有相对较高的gamma，如图3.5所示。
图3.5 作为标的收益率函数的钟形gamma曲线
随着到期时间的增加，gamma的重要性会降低。长期期权在所有现货价格区间的收益曲线都相当平坦。Rho，ρ，取代γ成为一个重要的希腊字母。具体而言，ρ度量期权对贴现率变化的敏感度。
读者可能会问，为什么我们没有提及其他的高阶希腊字母，比如volga（vega对隐含波动率微小变化的敏感度）。因为我们在本书中只涉及看涨和看跌期权的组合，大多数高阶希腊字母的值都极小。我们避开了银行创设的障碍期权和触碰期权等，这些产品的到期收益可能出现离散跳跃。从对冲的角度来看，我们不需要对希腊字母有极其精确的把握。我们只需要我们的对冲结构在标的大幅变动时具有足够的力量。
如果你只允许在到期日行权，该期权是欧式期权。如果你可以在到期日之前（含到期日）的任何时间行权，它就是美式期权。这与期权或标的资产的注册地无关，例如德国国债期货期权是美式交割。股票指数和VIX通常采用欧式行权，而期货期权或个股期权往往是美式的。这并不是完全任意的。现金结算的期权是欧式的。否则，交易所将不得不每天为每个指数发布官方结算价格。这个结算价格将决定客户经纪账户的余额增减。这将十分繁琐，且容易受到操纵。此外还有估值的问题。乍一看，美式看涨或看跌期权似乎应该比行权价和到期时间相同的欧式期权更值钱。你拥有随时行权的自由。这种"选择性"应该有某种价值。在其他金融语境中，通常确实如此。例如，Silber（1991）估算受限股票相对于可自由交易的同等股票，应当以大约每年50个基点的折扣进行交易。
但在这里，情况证明（在没有股息或其他技术因素的情况下）美式行权特性通常毫无价值。假设你持有一个价内的美式看涨期权，即 。你如果想行权，可以将股票在市场上卖掉，收到 。但这一策略的问题是，在行权时，该看涨期权的价值应该大于 。该头寸等价于一个以X为买入价的现货多头头寸，结合一个行权价为X的看跌期权多头。由于其中嵌入的看跌期权具有正价值，将看涨期权卖回市场比行权更为有利。
为什么要买入看涨或看跌期权？
"为什么"在许多语境下可能是一个危险的问题，但在这里却很重要。买入看涨或看跌期权有很多理由，复杂程度各异。买入期权最基本的理由是：你不得不买。你要么需要排除核心投资组合中不可接受的情景，要么想增加新头寸，但无法承担过多额外风险。买入标普500看跌期权以保护传统股票投资组合免受进一步损失，是一种被迫之举。你想维持现有投资组合，但需要对灾难性事件进行对冲。而基于并购交易不会通过的假设买入目标股票的看跌期权，则是完全不同的逻辑。在这里，你想获得对低概率事件的集中风险敞口。如果交易达成，你只损失已支付的期权费。另一方面，如果交易破裂，股票很可能会暴跌。你有可能赚到最初支付期权费的数倍收益。在这些情况下，你可能并不在意甚至根本不关心买入时看跌期权是否定价过高。你只关心在各种情景下的收益。
这为波动率套利交易者创造了机会，他们总是在四处嗅探被错误定价的期权。波动率是他们的货币，而非价格。如果他们发现了什么，他们会尝试从该期权与其它期权及标的资产的某种组合之间的差异中提取利润。买入纯看涨或看跌期权的另一个理由，是表达一种对方向和波动率的混合观点。你或许能通过交易期权而非交易标的资产来获取多一点的alpha。比如说，你想建立新兴市场股票的多头敞口。流动性最强的工具是新兴市场ETF。你可以买入ETF，买入看涨期权，或卖出看跌期权。当你买入看涨期权时，你的潜在利润是无上限的，但需要行情在合理的时间窗口内发生。随着时间的推移，看涨期权会逐渐损失价值。卖出看跌期权需要的信念较少，但需要同样多的勇气。如果市场趋于稳定，卖出看跌期权的策略可能表现良好。你是在赌任何抛售的损失都将被你收取的期权费所补偿。然而，如果ETF价格跌穿你的看跌期权行权价，你将面对一个完全暴露的多头头寸。买入看涨期权是一种更具冲击力的操作，其前提是市场低估了大幅上行行情发生的概率。然而，如果什么都没发生，你将损失已支付的期权费。买入看跌期权可以是一种防御性或投机性的熊市操作。投机性的下行看跌期权可以在统计层面上成立，即便它不是相对价值交易。你只是在主张，市场低估了价格向下方行权价方向运动的概率。如果你极度看多，你可以买入一个看涨期权并卖出一个看跌期权。这种结构通常被称为风险逆转（risk reversal）。由于看涨期权多头和看跌期权空头都具有正delta，每条腿的风险会叠加另一条腿上的风险。图3.6展示了一个风险逆转的收益。由于我们卖出了一个OTM看跌期权并买入了一个OTM看涨期权，两个行权价之间有一定间距。当我们将看跌和看涨期权的行权价推得越来越近时，该结构收敛为一份远期合约。
图3.6 分离行权价风险逆转的构建
图3.7针对的是iShares MSCI Brazil ETF上的一个分离行权价风险逆转。我们在2016年3月8日卖出了1,000份看跌期权并买入了1,000份看涨期权，希望了解大约3个月后的收益曲线。该曲线从中段几乎平坦的形态，从近乎线性的形状（delta接近0.5）演化为一个中段相当平坦的形状。
图3.7 iShares MSCI Brazil ETF风险逆转收益曲线的演化
假设你正在交易的市场存在持续的看跌偏斜。看跌偏斜是风险资产（如股票指数）的特征，源于标的收益分布的不对称性以及对冲下行风险的超额需求。"风险资产"在长期具有正的预期收益（至少根据理论是这样），但可能面临大幅负向下行意外的风险。当大幅负向意外多于正向意外时，我们称标的收益分布向下偏斜。如果看跌和看涨期权的行权价与ATM行权价的距离相同，你就能收取期权费。换句话说，你持有该结构可以获得预付收益。或者，你可以构建零成本的风险逆转，其中看跌期权的行权价比看涨期权的行权价距离ATM远得多。"零成本"意味着你从看跌期权收取的期权费恰好等于你为看涨期权支付的期权费。在极限情况下，当看涨和看跌期权的行权价相同时，你实际上已经买了一份远期合约。你的头寸将与标的价格连续同向变动，并且对波动率的变化不敏感。这是因为看跌期权的vega与看涨期权的vega相互抵消。看跌-看涨平价公式表明，买入一个行权价和到期日相同的看涨期权并卖出一个看跌期权，生成的结构对 是线性的。也就是说，如果 和 分别是行权价和到期时间相同的看涨和看跌期权，那么
其中 和 分别是标的资产的现货价格、贴现率与行权价。我们可以将该公式重写为
由于当前价格 和 不依赖于 的波动率，我们本质上可以通过买入看涨期权并卖出看跌期权（即风险逆转）的结构来创建一份远期合约。每当存在流动性好的期货合约时，用相同的行权价买入一个看涨期权并卖出一个看跌期权大概就没什么意义了。然而，考虑到ETF上大量期权没有对应的期货，在诸多情形下，构建一个合成远期仍然是一个合理的方案。该远期合约使你能够运用杠杆，同时最小化利息和股息收入的影响。
正如我们所知，远期合约是"delta为1"的工具。其收益曲线没有拐折之处，因此vega始终为0。每当存在流动性好的期货合约时，用相同行权价买入一个看涨期权并卖出一个看跌期权大概就没什么意义了。然而，考虑到ETF上大量期权没有对应的期货，在诸多情形下，构建一个合成远期仍然是一个合理的方案。该远期合约使你能够运用杠杆，同时最小化利息和股息收入的影响。
一旦我们超越这些基本结构，就可以通过混合不同行权价和到期日的期权来创建多样化的对冲结构。但是，在我们能够判断哪些结构看起来有前景之前，我们需要对相对价值有一些概念。我们需要某种方法将同一标的资产上所有可交易期权放在同等基础上进行比较。这就引出了我们在下一节中对Black–Scholes方程的讨论。
此刻，回顾期权的"价值状态"（money-ness）的概念或许是值得的。在下文中，我们将反复使用ATM、ITM和OTM这些缩写，因此需要明确它们的含义。如果现货价格与行权价大致相当，该看涨或看跌期权就是平值的（at-the-money，ATM）。为什么在定义中使用了"大致"这个词？在定义价值状态时存在一些模糊之处。一种方法是说ATM期权的行权价与现货价格恰好匹配。但是，如果我们处理的是期货期权呢？Black 76公式使用当前期货价格来对看涨和看跌期权进行定价。这提示了另一种定义：ATM期权的行权价应该与相同到期日的远期合约价格相匹配。第三种定义——与远期价格定义非常接近——规定，delta绝对值最接近0.50的行权价为平值。一旦我们对ATM期权的含义达成了一致，OTM（价外期权）和ITM（价内期权）的定义就自然而然地随之而来了。OTM看涨期权的行权价高于ATM行权价，OTM看跌期权的行权价则更低。一般而言，OTM期权没有内在价值。如果今天就是到期日，它们将一文不值地作废。
BLACK–SCHOLES方程与隐含波动率
1973年，Fischer Black和Myron Scholes发表了一篇具有里程碑意义的论文，题为"The Pricing of Options and Corporate Liabilities"（《期权与公司债务的定价》）。这篇文章竟然发表在了《政治经济学杂志》（Journal of Political Economy, 1973）上。他们使用两种不同的方法为"认股权证"即看涨期权的价值推导了一个偏微分方程。一种方法依赖于使用动态对冲策略来复制期权。另一种方法则应用资本资产定价模型（CAPM）将风险映射到预期收益上。结果证明，这个方程是可解的，从而得到了Black–Scholes公式。Black得以利用他的技术背景，识别出该方程与描述热量在金属棒中扩散的那个方程是一致的。
无数的书籍和文章已经从数学和历史的角度分析了Black–Scholes方程，我们无心重复这些工作。我们仅引导读者参考原始论文以及Mehrling为Fischer Black所著的引人入胜的传记（2005）以获取更多细节。Haug（2009）提供了一段另类的期权定价史，同样值得参考。具体而言，欧式看涨期权的价格由下式给出
，其中
且 。
这里， 给出了一个正态分布随机变量小于 的概率，取值在0到1之间。回想一下，欧式期权只能在到期日行权。具有更复杂特征的期权通常无法用简单的解析公式定价。
我们请读者关注原始论文中对该公式的一条评论。（注意，股票的预期收益率并未出现在（该）方程中。作为股票价格的函数，期权价值与股票的预期收益率无关。）
这条评论看起来几乎像是一句随口说出的附注，但它的重要性怎么强调都不为过。如果 依赖于 的预期收益 ，Black–Scholes公式将包含两个不可观测的量，即 和 。注意 和 具有明确的市场价格，而X和 由期权合同明确定义。这些都是精确已知的。既然 对 没有影响，给定 的市场价格，我们就可以唯一地求解 。这使我们可以将Black–Scholes视为一个强大的转换装置，将期权价格转换为隐含波动率。不同行权价和到期日的期权就可以被置于同等基础上进行比较。以德国国债期货为例，在任何给定的时间点上，都有数百个已挂牌交易的期权。对于主要股票指数、短期利率、大宗商品和个股来说，情况同样如此。对于每个标的资产，都有大量不同的行权价和到期日。如果我们试图直接比较它们的价格，我们将不可避免地迷失方向。那么，我们如何确定哪些期权可能相对便宜，哪些相对昂贵？这正是Black–Scholes公式发挥作用的地方。
我们观察到 和 随 的增加而增加。在其他条件相同的情况下，资产的波动率越高，其期权价格就越高。原因很简单，前文已经有所触及。当我们买入一个看涨期权时，我们的到期收益为 。虽然收益有下限，但潜在收益是无限的。我们的损失上限即是已支付的期权费。当波动率增加时，结果的范围也同时扩大。这提高了 大幅为正的概率，意味着 的期望值应该上升。这意味着，给定看涨或看跌期权的市场价格，我们可以唯一地解出σ。具体而言，对看涨期权为 ，对看跌期权为 。波动率是期权价格、现货价格、行权价、无风险利率和到期时间的确定性函数。这使我们能够以合理的方式比较不同行权价和到期日的期权。很难对期权的价格建立直观的感受——例如，标普500指数行权价2050、1个月到期的看跌期权价格为25，这到底意味着什么？价格中有多少是内在价值，多少是期权费，以及期权费如何随时间的增长而缩放？（注意，期权的内在价值是如果它今天到期所具有的价值。）
然而，如果有人告诉你该看跌期权的隐含波动率是14（实际是14%，虽然波动率通常以百分点报价），你就有可靠的参考依据了。该隐含波动率是否高于30天的回溯实际波动率？它是否远高于ATM的隐含波动率？它相对于3个月隐含波动率的交易水平如何？这类问题使我们能够对2050看跌期权的公允价值做出相对性的判断。
隐含波动率偏斜
当我们使用Black–Scholes方程将期权价格转换为隐含波动率时，存在一些模型误设的问题。Black–Scholes假设标的资产的波动率是恒定的，即独立于时间和价格水平。它基于资产在期权生命周期内的某种平均波动率来定价，完全不考虑如果资产下跌-20%时波动率可能会处于什么水平。然而，当我们为不同行权价的期权推导出不同的隐含波动率时，我们实际上自相矛盾地说波动率毕竟还是依赖于价格水平的。这是否意味着我们完全不能用这个模型了呢？大多数从业者会主张并非如此。正如我们上面讨论的，该模型提供了一种强大的方法，将期权价格转换为我们能够理解和交易的量。假设标普500交易在2100点，3个月到期行权价1750看跌期权的隐含波动率比3个月到期ATM看跌期权高出10个点。市场在警告我们，如果指数真的接近1750，波动率将大幅上升。我们可以从另一个角度思考。投资者通过对公式中唯一一个不可观测的量进行"模糊化处理"，得出了符合现实的OTM期权价格。随着时间的推移，金融工程师自然会希望将这种做法建立在更坚实的基础上，这是很自然的。最初只是信封背面的估算，如今已经逐步变得更加精细化。将期权价格转换为前瞻风险估计的这一理念，被概括在局部波动率（local volatility）这一概念之中。本书不会覆盖局部波动率，我们引导读者参考Gatheral（2006）。
就我们的目的而言，依赖价格水平的波动率之所以重要，是因为它是收益分布中产生肥尾的一种机制。如果波动率在指数跌破某个阈值时跳升，那么从该点出发出现更大波动的概率将高于正态分布所预测的水平。这可能与市场中的传染效应有关，我们将在第8章探讨。这里，我们不试图解决所谓的"反问题"——即从标的资产上各种期权的价格推断出市场对波动率的预期。作为危机的对冲者，我们不在精确校准和预测的领域中运作，而是在生存的世界中运作。当市场突然切换至risk-off（避险）模式时，精确的关系可能会瓦解。
对冲小幅波动
假设你卖出了一份看涨期权。该头寸暴露于现货价格急剧上涨的风险。你可以通过各种方式对冲这一风险。如果你卖出了一份看跌期权而现货价格暴跌，同样的理念也适用。如果你卖出了一份看跌或看涨期权，有两种基本方法来管理风险。你可以用标的资产进行delta对冲，或者你可以用其他期权来对冲该期权。在本节中，我们专注于delta对冲。假设你卖出了一份股票指数看跌期权。为简单起见，该指数不支付任何股息，利率为0。那么看跌期权价格P依赖于指数价格 、行权价 、到期时间 和隐含波动率 。换句话说，我们可以将 写为 。目前无需担心如何为P定价。我们可以简单地假设Black–Scholes公式是有效的。这样就可以计算看跌期权的delta。看跌期权的delta告诉你如果指数S变动一点点，P大概会变动多少。你可以通过对略微不同的指数值delta_S重新给看跌期权定价，然后计算 ，来近似得到delta。用数学术语来说，你正在计算P对S的偏导数。因此，如果看跌期权的delta是–0.50（交易者会说这是一个50 delta的看跌期权），你预计在指数上涨1%时会损失50个基点。看跌期权的delta范围从–1到0，看涨期权的delta范围从0到1。从业者通常会将数值乘以100来告诉你期权的delta是多少。例如，一个delta为–0.50的看跌期权会被称为"50 delta"看跌期权。delta必须为负值这一点很明确，因为我们处理的是看跌期权。这意味着，你每卖空10份期权，就应该做空5份期货来免疫你的头寸。平均而言，常规delta对冲的利润应当取决于期权入场时隐含波动率与资产已实现波动率之间的差异。理论上，如果你能够持续以比标的资产在期权生命周期内已实现波动率更高的波动率卖出期权，你就拥有了一个可以盈利的策略的基础。
Delta对冲：理想化的情况
假设你生活在一个另类现实中，资产收益服从正态分布且波动率保持恒定。这可能大致近似于市场的运作方式，但在最糟糕的时刻可能完全偏离。假设资产价格由一个随机数生成器驱动，其属性可以很容易地推断出来。换句话说，产生收益的"机器"按照严格的规则运行。你可以零成本、零市场冲击地进行交易，价格在时间上连续振动。有些学者可能将这种情况等同于一切都被有效定价的场景，因为任何无效之处都会被投资者立即消除。然而，这并不是一个必要的假设。在这里，我们假设在期权市场中仍可能偶尔出现统计性的错误定价。假设我们发现了一个期权，其隐含波动率高于标的资产恒定的已实现波动率。如果一段时间内资产的历史波动率由于随机偶然高于其"真实"波动率，这种情况就可能发生。在这种情况下，隐含波动率可能与过去异常高的波动率相关联，因此定价偏高。那么，我们就可以通过卖出期权并用标的资产进行delta对冲，来获得几乎确定的利润。标的资产的实际走势通常会比期权预测的更温和。这意味着delta对冲策略的净资产价值（NAV）将比期权中的期权费衰减得更慢。这听起来有点抽象，让我们举一个具体的例子。这个例子相当极端，旨在阐明delta对冲的概念。假设我们有一个股票的1年期看涨期权。该看涨期权的交易波动率固定在20%，但股票的已实现波动率恒定为10%。只要股票不开始出现剧烈波动，这就是一个令人垂涎的机会。股票交易在100，看涨期权的行权价为100，利率为0。
在图3.8中，我们跟踪了该看涨期权价值与复制投资组合价值随时间的变化。我们的策略依赖于卖出看涨期权并用股票进行delta对冲。在这个例子中，我们出售看涨期权收到大约8，而需要大约0.55*100来买入股票。注意0.55是卖出时点看涨期权的delta。这意味着我们需要从银行借入大约47来启动这笔交易。随着时间的推移，如果我们必须买入更多股票，借款会增加；如果我们卖出股票，借款会减少。我们可以看到，对于一条代表性路径，复制投资组合的价值衰减比看涨期权中嵌入的期权费要慢得多。
图3.8 从隐含波动率被高估的看涨期权中提取alpha
当你卖出并delta对冲一个看涨期权时，最大的净利润在看涨期权迅速燃烧掉价值时实现。如上面的例子所示。在这种令人愉快的情况下，你在看涨期权上迅速获利，随后由于看涨期权的delta已经很低，不再需要对冲太多。当delta衰减到一定程度后，对冲就不再必要了。对于一个经过delta对冲的看跌期权空头而言，现货价格的反弹是理想的情形。你需要对冲得越不积极，效果越好。
当一个期权的定价错误程度如此之高时，锁定利润的几率非常高。你拥有巨大的容错空间。在图3.9中，我们模拟了在故意限定为很少数量的路径下，复制投资组合做空看涨期权策略的表现。条款与上面的例子相同。该图追踪了平均利润占初始期权价格的百分比。仅经过10次（！）模拟，我们的平均利润就沿着一条非常平滑的线演变。如果隐含波动率被高估且复制的基本假设依然成立，卖出并delta对冲期权应该是一种压倒性成功的策略（见图3.10）。然而，我们将发现，那些假设可能是极大的"如果"。
图3.9 当隐含波动率被严重错误定价时，套利处于最佳状态
图3.10 跳空对盈亏的影响
Delta对冲的实际限制
一旦我们稍微放宽假设，进行精确的delta对冲就变得更加困难。我们不能仅仅卖出看似高估的期权，就期望能把标的资产中所有的价格风险都对冲掉。波动率的变化、离散跳跃以及价格动力学随不同时间尺度的变化，最终将围攻我们的计划。物理时间看似以恒定的速率连续向前移动。然而，金融数据是离散出现的，价格可以从一个时间戳到下一个时间戳发生不连续的跳跃（即超过一个tick）。有些人将高波动率等同于"快节奏市场"，这一描述感觉大致正确。快节奏市场确实给人以一种眩晕感，如同本地主题公园里的过山车。当每单位时间间隔内发生大量交易时，人们感知到的是时间实际上比正常情况下流逝得更快。Ané和Geman（2000）引入了随机交易时钟的概念来解释这一现象。当大量交易涌入系统时，一个固定的时间单位可以包含异常多的活动量。通过重新缩放时间，他们能够将肥尾分布转化为看起来更接近正态的分布。
让我们从一个隐约类似于爱因斯坦狭义相对论的范式回到标准的时钟时间。即使我们在最近的过去没有观察到六倍标准差的下跌，这种极端波动的风险始终潜伏在表面之下。这些波动意义重大，即便它们有时会随着时间自我逆转。对一个期权交易者而言，日内的大幅波动足以威胁生存。我们不能悄然地删掉那些"街上流血"的时刻。价格跳跃是信号至关重要的组成部分，并且在长期内可能是决定性的。它们不是测量误差的产物，不相当于数字图像上需要被平滑处理的噪声斑点。少数几次非常大的波动会对长期收益产生令人惊讶的巨大影响。例如，如图3.11所示，如果我们移除自1980年以来标普500现金指数的最大10个下跌交易日，该指数的年化收益率将从8.26%上升到11.17%。
图3.11 剔除10个最大下跌日对标普500累积表现的影响
这是一个相当引人注目的统计数据，因为这些下跌交易日仅占整个期间所有交易日的0.11%！指数或许最终会回到毁灭性下跌之前的水平，但损失已经造成。我们的delta对冲策略将被迫进入市场，在接近低点时卖出标的资产，然后又在原始水平补回。在下面的例子中，我们展示了一次单一的价格飙升如何击垮一个delta对冲策略。我们回到行权价100看涨期权的例子，但做一些修改。隐含波动率（20%）仅比可观察到的过去的已实现波动率略微高估。已实现波动率设为19%，因此容错空间很小。在理想化的高斯世界中，没有市场冲击或成本，我们平均而言可以从这一差异中提取alpha。然而，单次价格跳跃就可能摧毁我们的计划。什么样的价格跳跃算是"合理"的？黑天鹅纯粹主义者可能有充分的理由认为这是一个愚蠢的问题。一旦我们离开正态分布的世界，异常巨大的波动就可能发生。看起来不合理的波动可能出奇地频繁发生。但在本节中，我们只想展示，并不需要多大的跳跃就足以将delta对冲策略推向不利境地。
我们从一个从长期角度来看并不引人注目的例子开始。金融史学家不太可能将2015年10月2日视为一个非凡的日子，而我们正是出于这个原因选择了它。标普500当日收益为+1.43%，这还不到1.5个标准差的1日波动。这种幅度的收益在正态分布下大约有13%的发生概率。这类波动在股票指数、利率、货币和大宗商品中相当常见。8月份市场已经非常动荡，9月份则偏向熊市。人们对格林尼治时间13:30发布的美国非农就业数据怀有极大的期待。按照市场惯例——且不论现实是否如此——这将是美国经济健康状况的一个重要晴雨表，并可能对央行政策产生影响。然而，过去有过很多类似的紧张与期待时刻。问题在于，在日内基础上，这些时刻无法被精确对冲。如果你做空了1个月的跨式组合（straddle），并在试图对冲时不断以买价或卖价成交，你的成交价格之间会存在巨大的缺口。如果你每分钟进行一次delta对冲，你会错过这波行情。如果你在标的资产每波动0.5个标准差时对冲一次，你可能只会在行情的尾端才得以成交。无论哪种情况，你的delta对冲利润都将被做空跨式组合的连续重新定价所碾压。
图3.12和3.13基于两天的历史数据：2015年10月1日和10月2日。在10月1日，我们计算了从美国东部标准时间上午7点到下午4点15分期间1分钟收益的标准差σ。在10月2日，我们取相同的时间窗口，并将每个1分钟收益除以前一天的σ。我们将每个1分钟收益相对于前一个交易日1个标准差波动进行了量化度量。第一张图显示了标普500 Emini期货的1分钟波动（以σ为单位）。
图3.12 标普500 1分钟标准化波动，2015年10月2日
图3.13 美国10年期国债期货1分钟标准化波动，2015年10月2日
第二张图显示了同一时期内美国10年期国债期货的标准化1分钟波动。缩放机制与上述相同。
用期权对冲期权
应该显而易见的是，当波动率发生变化或标的资产出现夸张的跳跃时，delta对冲并不可靠。当我们考察那些具有极端gamma或vega的期权时，问题会更加严重。这类期权对突发事件高度敏感。正如俗话所说，极短期的ATM期权是"gamma满满的"。它们拥有大量的gamma。在行权价附近，delta随现货价格的变化而快速改变。这迫使delta对冲进行激进的再平衡，尤其是在现货价格在行权价附近跳跃或剧烈震荡时。在另一端，长期期权富含vega。风险厌恶水平的变化有时会沿着波动率期限结构传播得很远。如果隐含波动率上升，即使现货价格没有实质性变动，长期期权的价格也可能跳升。仅凭标的资产本身，没有直接的对冲隐含波动率变化的方法。当隐含波动率与已实现波动率不同步变动时，这一点尤其成立。这是否意味着我们永远不应该做空接近到期日或距离到期日非常遥远的期权？并非必然。我们可以保护自己免受灾难性损失，而不必诉诸动态对冲。Haug和Taleb（2007）大声疾呼，最直接的对冲期权的方法就是用其他期权来对冲。这种方法帮助您同时控制所有的希腊字母。从某种意义上讲，它超越了希腊字母体系，因为你可以通过用期权对冲来彻底消除极端事件风险。
一旦你卖出了一份普通香草期权，你就做空了gamma和vega。如果你再买入另一份期权来对冲，你的部分gamma和vega可能会相互抵消。假设标普500交易在2000点，你想卖出一份1周到期的1950看跌期权。虽然delta在最初可能较低，但如果现货价格接近1950，delta将以加速的速率增加。这可能迫使你止损离场。或者，你可以激进地对头寸进行delta对冲，但这将让你暴露于现货价格突然逆转的风险。正如我们将在第7章中看到的，在下跌市场中，剧烈的逆转是常见的。因此，一个审慎的策略是：买入一个行权价更低的看跌期权来对冲做空的1950看跌期权。比如，你可以买入1周到期的1900看跌期权来覆盖极端的下行风险。这会将你的损失限制在50*（合约乘数），同时让你无需进行动态对冲。
一旦你覆盖了结构中的极端风险，你就可以无限期地持有该结构，而不必担心被彻底击垮。有经验的期权交易者会确认，持有一笔可以拿得住的交易更容易从中提取alpha。上面的例子允许你在风险有上限的情况下收取期权费。交易价差组合使你能够摆脱对delta、gamma、vega及其他希腊字母的持续监控。你不需要太过担心标的资产所走过的路径。更重要的是在给定时间范围内，对于S和σ的一系列变动所能实现的收益。标的收益分布的尾部现在与你无关，因为你已经用1900看跌期权将其截断了。你只需要判断这个价差组合作为整体是否具有良好的价值。
看跌和看涨价差组合
让我们更详细地考察一下期权价差组合。它们减少了对主动delta对冲的需求，并代表了一种表达有针对性观点的有效方式。如前所述，假设你认为某个特定资产即将上涨。但这一次，你的信念水平没有那么高。与其买入纯看涨期权或卖出纯看跌期权，你可以交易一个价差组合。价差组合给你提供一些方向性敞口，但不会从大规模行情中完全获益。要构建看涨价差组合，你买入一个给定行权价的看涨期权，同时卖出一个行权价更高的看涨期权。卖出高行权价看涨期权降低了成本，但也限制了你潜在的收益，如图3.14所示。卖出看跌价差组合的效果相反。当你买入一个低行权价的看跌期权来覆盖另一个你已卖出的看跌期权时，你侵蚀了收取的期权费，同时为你的损失设置了一个底线。在美国，看跌和看涨价差组合有时被称为"垂直价差"。这个名称暗示你在不同的水平（即行权价）上买卖期权，而将时间——这一水平维度——固定不变。看涨和看跌价差组合也可以作为主动交易策略的一部分而产生。例如，你可以买入一个股票指数看跌期权，然后在指数急剧下跌时卖出一个行权价更低的看跌期权。这使你能够通过卖出价格偏贵的看跌期权来锁定利润，同时保持一定程度的保护。反之，如果美国10年期国债期货价格上涨，而你做空了一份看涨期权，你可以买入一个更加价外的看涨期权来覆盖你的极端风险。通过这种方式，你可以继续持有原有头寸，并期望行情会发生逆转。
图3.14 看跌价差组合收益曲线的演化
在下面的图表中，我们可以看到看跌价差组合的收益如何随现货价格变化。收益曲线在最初相当平缓，但随着到期日的临近，在两个行权价之间急剧变陡。
跨式组合与宽跨式组合
在前面的篇幅中，我们分析了将波动率观点与方向性观点相结合的结构。但是，如果我们想做一个无方向的纯波动率赌注呢？期权跨式组合（straddle）和宽跨式组合（strangle）是进入这一领域的入口。要构建一个跨式组合，你买入一个ATM看涨期权和一个相同到期日的ATM看跌期权。这种结构具有对称的"V"形收益曲线，如图3.15所示。
图3.15 跨式组合在到期日的利润/损失
无论你是买入还是卖出一个跨式组合，该头寸在最初是delta中性的，即看涨和看跌期权的delta相互抵消。目前，我们假设你决定不对该结构进行delta对冲。一旦现货价格变动，delta将由于gamma的影响而偏离0。如果你买入一个ATM跨式组合，你最初是delta中性的，伴随一个做多gamma的特征。在图3.16中，我们可以看到做多跨式组合的gamma如何随现货价格变化。我们的计算基于一个到期日为30天的标普500跨式组合。随着我们趋近到期日，gamma在行权价处暴增，在其他地方趋近于0，同时delta对于哪怕是极微小的波动也会跳至–1或1。
图3.16 跨式组合gamma曲线随时间的演化
Gamma在ATM行权价处达到峰值。如果现货价格最初上涨，你的delta变为正值。这可以对标的资产产生实质性多头敞口。如果价格下跌，你则获得负delta。随着时间的推移，你开始以不断增加的速率积累delta风险。短期的ATM跨式组合充满了gamma，因此不应以轻率的方式做空。曲线在ATM行权价处看起来有点尖，但这是我们近似方案的人为产物。Gamma的形状应该大致与标的资产的概率密度函数相同。在Black–Scholes世界中，gamma曲线具有高斯分布的"钟形曲线"形状。
我们可以从跨式组合买方的角度换一种方式思考。你真正想要的是价格向某个方向的大幅波动，因为你的delta调整后头寸规模将在波动方向上加速扩大。随着时间的流逝，你需要越来越大的现货价格波动才能盈亏平衡。这意味着，如果你不对做多跨式组合进行delta对冲，你需要精确地把握出入场时机。你不能永远等待一波行情发生。对于距离到期日相对较近的跨式组合，这一问题更为严重，因为此时theta最大。回想一下，theta是期权的时间衰减。如果你确实决定进行delta对冲，跨式组合就转变为一个关于隐含波动率与已实现波动率之间价差的博弈。如果隐含波动率低于你对已实现波动率的预测，你可以买入并对冲一个跨式组合。如果隐含波动率更高，你可以卖出并对冲。由于隐含波动率通常相对于已实现波动率有溢价，卖出跨式组合看起来似乎普遍是更有吸引力的策略。有些对冲基金和自营交易公司确实在做这件事。然而，如果他们不对头寸进行非常保守的规模控制，或不以高超的技巧进行交易，他们将始终面临灭顶之灾的风险。正如我们先前所提到的，现货价格中大幅且意外的跳跃可以压垮做空期权头寸中的理论优势。
宽跨式组合（strangle）是跨式组合的近亲。每个宽跨式组合也是买入一份看涨期权和一份看跌期权。然而，对于宽跨式组合而言，两个行权价是分开的。具体而言，你买入一个低行权价的看跌期权和一个高行权价的看涨期权来构建做多宽跨式组合，如图3.17所示。
图3.17 到期日的"宽跨式组合"
将行权价分离开有若干理由，而事实证明有些理由比其他理由更好。相对于做多跨式组合，做多宽跨式组合的期权费支出相对较低。当你将行权价推离现货价格时，宽跨式组合每条腿的成本都会降低。反之，当隐含波动率偏斜是强凸性的时候（即OTM期权在波动率意义上相对于ATM期权有显著溢价），做空宽跨式组合可以提供价值。你于是有机会从OTM期权的相对错误定价以及ATM隐含波动率的高水平中提取alpha。还存在另一个做空宽跨式组合的理由，尽管我们并不推荐。有些投资者选择卖出宽跨式组合而非跨式组合，以便"给自己留出空间"。至少在最初，宽跨式组合的delta对标的资产的小幅波动并不太敏感。这可以在一个潜在危险的结构中制造安全的幻觉。虽然你的盈亏平衡水平可能更远，但你需要卖出比跨式组合更多的宽跨式组合才能收取等量的期权费。你要么在行情波澜不惊时只能接受更低的收益，要么就对结构加杠杆，而这会增加极端事件风险。"给自己留出空间"这一概念只有在你知道在期权生命周期内绝对不会发生向某个方向的大幅波动时才适用。市场不提供此类保证。在极端情形下，现货价格可能轻易击穿你的某个宽跨式组合的行权价，造成的不断扩大的风险比你卖空较少数量跨式组合时更为严重。收益曲线是漂亮而平坦的，表明你应当在广泛的场景范围内获得几乎恒定的正收益。然而，如果该结构未被妥善管理，危险始终潜伏在角落。
正如我们将在第4章中看到的，各种各样更复杂的结构同样具有无上限的风险。所谓无上限风险，是指你的潜在损失没有附近的界限。这些结构包括梯式组合（ladder）和比率价差组合（ratio spread），并且可能需要在超过某个阈值后进行主动的delta对冲。然而，假设你已经切断了极端下行的风险，你就可以在不进行太多主动干预的情况下加载头寸。有时候，安全的懒人策略就是最好的策略。
可变形曲面
有经验的期权交易者能够将短期ATM波动率的给定变化如何在不同行权价和到期日之间传播进行概念化。在我们看来，这既不是巫术也不是特殊天赋，而是一种可以学习的技能。波动率曲面按照某种可预测的模式移动。曲面的不同部分通常基于合乎逻辑的原因而变动。出于对冲的目的，我们需要特别关注"两翼"，即低delta的看涨和看跌期权。在本节中，我们将简要描述如何将某个资产的期权链转换为波动率曲面。注意，期权链是在某个时间点上给定资产上所有已挂牌期权的集合。该期权链跨越不同的行权价和到期日。然后，我们分析在曲面极端位置可能的变动，这些变动以ATM波动率的变化为条件。每当一个期权有合理的买价和卖价时，我们可以对中间价应用Black–Scholes变换，将价格转换为隐含波动率。资产的中间价就是其买价和卖价的简单平均。我们最终得到一个隐含波动率网格，每个行权价和到期时间都有一个对应的值。在对网格上的点进行插值后，我们可以创建如图3.18所示的隐含波动率曲面。
图3.18 隐含波动率曲面的定性描绘
用行权价来定义价值状态并不是必需的。在接下来的分析中，我们通常会关注隐含波动率如何随delta的变化而变化。这使我们能够调整现货价格和波动率随时间的变化。关于如何根据现货价格的变化来建模波动率曲面，一直存在一场持续的辩论。我们引导读者参考Zou（1999）以获取更多细节。在本节中，我们采用更粗粒度的方式来理解偏斜如何响应大规模的市场波动。隐含波动率曲面很难把握，因为它包含了太多信息。当我们开始思考动力学时，情况就更糟了。有大量期权价格在嗡嗡作响。然而，我们有时可以对问题进行降维。如果我们把曲面上的一个点移动一点点，曲面的其余部分预期会移动多少？在对冲的语境中，这并非一个纯粹的理论问题。特别是，我们想聚焦于"闪点"——曲面上波动率最可能上升最大的区域。
在观察动力学之前，我们可以通过检查曲面的静态横截面来简化问题。如果我们只关注ATM期权，我们可以沿y轴切割曲面。这给我们一条称为波动率"期限结构"的曲线。期限结构反映了市场对未来不同时间尺度的波动率的预期。如果出现风险事件，短期波动率往往会爆发，而曲线其余部分的移动则相对温和。市场假设事件的重要性会随时间递减，并在曲线上定价均值回归。短期端的大幅波动可能导致期限结构出现倒挂。在图3.19中，我们聚焦于标普500期权，计算不同到期日的ATM期权隐含波动率变化对3个月ATM隐含波动率变化的beta。按照构造，3个月ATM波动率变化对自身的beta是1。
图3.19 期限结构对3个月隐含波动率变化的可变响应
如果波动率飙升后一切归于平静，短期波动率的下降速度将快于更长期限的波动率。这是与我们上面讨论过的情形相反的场景。短期端的波动率beta相对较高，导致相对于3个月波动率出现夸大的波动。最终，期限结构将回归到更典型的向上倾斜形态。倒挂的期限结构相对罕见，因为波动率的爆发往往不常发生。牛市往往比熊市持续时间更长。然而，在持续时间较长的抛售中，例如2008年，曲线可以在相当长的时间内保持倒挂。总结而言，短期波动率是摇动长期波动率尾巴的那条狗。偏斜动力学比期限结构动力学更复杂，因为它们依赖于具体的资产类型。风险资产，如股票指数和套利货币，在市场抛售后往往会形成加剧的看跌偏斜。投资者在争相寻求下行保护。其他资产可能表现出更复杂的动力学，这取决于市场的持仓状况以及保护需求最高的地方在哪里。我们将在下一节中探讨其中一些议题。
然而，在实践中，通常使用价外（OTM）看跌和看涨期权来构建矩阵。OTM期权通常更具流动性，买卖价差更窄。这导致隐含波动率计算更为精确。在市场剧烈波动的环境下，OTM期权的隐含波动率也更容易计算，因为它们的delta相对较低。当标的价格波动时，ITM期权的买卖价差可能不会同步调整，从而导致隐含波动率出现扭曲。
从OTM期权计算出的隐含波动率矩阵可以在三维空间中可视化为一个曲面。下方的图表给出了一个隐含波动率曲面的示例性描绘。对于短期期权，偏斜更为显著，并随着到期时间的增加而逐渐趋于平缓。当我们以行权价而非delta为变量来计算隐含波动率时，这一点尤其成立。一个1年到期的10% OTM看跌期权覆盖的是温和的下行情景，而一个1周到期的10% OTM期权则只保护最远的左尾。在计算短期OTM看跌期权的隐含波动率时，我们实际上是在偏斜曲线上看得远得多。
从长期期权的角度来看，间距固定的行权价随着到期时间的增加会变得（在概率意义上）越来越相似。因此，曲面的远端应当具有相对平坦的偏斜。在下一节中，我们给曲面释放自由运动的权限，并检视风险资产的看跌偏斜在恐慌进入市场时如何扩张。
风险资产的偏斜动力学
风险资产，如股票指数和高收益货币，通常具有看跌偏斜。OTM看跌期权的隐含波动率高于平值期权。在标的资产下跌之后，看跌偏斜往往会变陡，因为存在对灾难保险的超额需求。所有这些意味着，如果我们想要高效地对冲，就需要将偏斜动力学纳入考量。
图3.20给出了2016年5月下旬澳元期货隐含波动率偏斜的一个快照。它代表了"正常"市场条件下风险资产偏斜的典型特征。我们使用大约45天到期的OTM看涨和看跌期权来构建偏斜。具体而言，每个行权价的隐含波动率是从买价和卖价的平均值中，使用Black 76公式推导出来的。平值行权价为72。在ATM行权价的左侧，波动率上升得相当迅速。这表明市场对货币急剧下跌赋予了相当高的概率。
图3.20 风险货币的隐含波动率偏斜
低delta看跌期权具有相对较高隐含波动率的原因有几点。一方面，风险资产往往呈负偏斜。标的收益分布更有可能在下行方向而非上行方向产生意外。另一方面，对下行保护的结构性需求往往更高。大多数投资者对风险资产有做多倾向，并使用期权来截断核心投资组合中的损失分布。
风险资产具有比像美国国债这种难以捉摸的品种更直观的偏斜动力学。它们通常具有一种看跌偏斜，该偏斜随着波动率的增加而变得更陡。澳元/美元交叉盘无疑符合风险资产的条件。从历史上看，澳元提供了高收益，作为交换承担了大宗商品风险和中国风险。在图3.21中，我们追踪了澳元相对于美元的25 delta风险逆转（RR）。在这里，25 delta RR被定义为25 delta看涨期权和看跌期权隐含波动率之间的差额。这个量与我们在第3章描述的同名期权结构相关。对标普500而言，如果看跌偏斜特别陡峭，你可能会卖出一个25 delta看跌期权并买入一个25 delta看涨期权。
图3.21 澳元25 delta风险逆转中的负偏度
上述动力学非常直观。每当出现风险事件时，风险逆转便会急剧下降。所有行权价的波动率都会飙升，其中OTM看跌期权波动率的上升幅度不成比例地大。换句话说，看跌偏斜已经升高。在风险事件期间，澳元往往暴跌，投资者紧张地支付高额溢价来购买下行保护。因此，我们观察到在2008年10月、2010年3月和2011年欧洲危机期间出现了急剧变动。我们还观察到澳元RR几乎总是负值。买入澳元是一种"追逐高收益"的操作。许多投资者想要稳定的收入来源。如果市场波澜不惊，他们就坐享收益。这意味着投机者偏向于买入澳元，并需要定期购买看跌期权以防范灾难。
反之，如果我们固定到期时间，并沿不同期权delta进行切片，我们得到的是隐含波动率偏斜。偏斜比期限结构更难刻画，因为其形状在不同市场之间差异巨大。股票指数通常具有看跌偏斜，因为抛售往往比反弹更快，并且对做多投资组合进行对冲有更多的机构性需求。据观察，自1987年黑色星期一之后，股票看跌偏斜变得更加显著了。对于主权债券市场，如美国国债，情况更为复杂。在图3.22中，我们使用1个月到期的美国10年期国债期货期权，追踪了25 delta看涨期权和25 delta看跌期权隐含波动率差值随时间的变化。
图3.22 美国10年期期货不可预测的偏斜动力学
事前来看，你可能会预期存在一个持续的看涨偏斜，因为国债在危机期间通常会上涨。事实证明，美国10年期偏斜有些像变色龙，随着风险厌恶水平和通胀预期随时间变化，它在看涨偏斜与看跌偏斜之间切换。当主要风险来自通胀时，可能会形成看跌偏斜。通胀上升通常会导致收益率上升。你可以大致将债券的收益率分解为一个度量通胀预期的成分，和另一个补偿投资者承担久期风险的成分。反之，如果市场正在定价未来的困难时期，则可能形成看涨偏斜。
1×2比率价差组合及其同类
我们将要考察的第一个偏斜交易是1×2比率价差组合。它有两种变体，一种针对看涨期权，一种针对看跌期权。要构建看涨比率组合，你买入1份接近ATM的看涨期权，并卖出2份行权价更高的看涨期权来对冲。对于看跌比率组合，你买入1份接近ATM的看跌期权，并卖出2份行权价更低的看跌期权来对冲。例如，你可以买入1份美国10年期国债看涨期权（行权价130）并卖出2份132看涨期权来构建一个看涨比率组合。两种行权价的到期日通常相同。目前我们专注于看跌比率组合，因为在分析股票指数偏斜时它们往往尤为有趣。许多交易者喜欢在看跌偏斜变陡时买入1×2看跌比率组合。市场惯例是，当你买入1份并卖出2份时，你是做多1×2。假设标普500急剧下跌。那么，随着对冲者进入市场，OTM看跌期权的价格将升高。OTM与ATM看跌期权隐含波动率之间的价差很可能将扩大。在图3.23中，我们将（OTM–ATM）隐含波动率价差的水平对标普500过去6个月的收益率进行回归。
图3.23 标普偏斜对6个月回溯涨跌幅的依赖
抛售后挖掘偏斜的一种直接方法是：在维持delta中性的同时，买入1份ATM看跌期权并卖出2份OTM看跌期权。例如，你可能在构建比率组合时买入一份50 delta看跌期权并卖出2份25 delta看跌期权。"组合体"的delta为0，即 。这个交易有一些并非立即显而易见的、有趣的属性。通常而言，你在进入交易时很可能是期权费的净支付方，但该结构在接近到期日之前却具有正的时间衰减。这怎么可能呢？当你买入纯看跌或看涨期权时，支付期权费意味着你做空了theta。每平静地过去一天，你的期权就会有一部分期权费被侵蚀掉。但在这里，情况更复杂。如果市场波澜不惊，2份25 delta看跌期权最初的价值燃烧速度将快于单独的1份50 delta看跌期权。如果现货价格在当前水平附近徘徊，你也很可能从偏斜的平坦化中获益。这表明，直到接近到期日之前，时间的流逝都将对你有利。虽然接近到期日时你确实会突然变成做空theta，但标准策略是在此之前将交易展期。在下图中，我们展示了一个做多 比率价差组合的收益曲线如何随时间演化。我们的例子基于Euro Stoxx 50看跌期权。具体而言，我们买入了100份50/25 delta 看跌比率组合，到期时间大约2个月。收益曲线作为现货价格的函数在3个不同日期上绘制。虚线显示了构建该交易时点的收益。灰色"甜点"线反映了我们计划展期该结构的时间，即到期前2周。在这里，正收益的范围相对较大。作为参考，黑色线给出了到期时的收益。我们未在图3.24中包含极端下行的情况。然而，该结构似乎对广泛的场景都有良好的适应性。
图3.24 做多1×2看跌比率组合的"安全"区域
从某种层面上看，这是一笔看起来相当赏心悦目的交易，但可能充满危险。正如我们将在"蝙蝠侠"交易部分更尖锐地看到的那样，问题在于1×2比率价差组合具有较大的vega和极端事件风险。你的损失本质上是无上限的。上文的1×2在最初是delta中性的，因为各条腿在小幅波动时相互抵消。乍一看，它似乎在标的资产的广泛波动范围内都能赚钱。然而，如果发生严重的抛售，你的头寸将收敛为现货的多头头寸。你可能面临巨大的盯市损失，并且你delta调整后的头寸规模将会急剧增长。我们可以在图3.25中看到嵌入的波动率风险。该图在两种情景下比较了距离到期日还剩1个月的收益曲线。第一种情景中，波动率保持恒定。第二种情景中，Euro Stoxx隐含波动率出现10个点的平行位移。这对偏斜而言并非一个异常大的冲击。如果非要说的话，这低估了风险，因为如果隐含波动率全面上升，偏斜很有可能变得更陡。盈利窗口几乎消失了，你只能干等着波动率在下一次潜在抛售前急剧下降。
图3.25 1×2看跌比率组合对波动率飙升的敏感度
也许有人会争辩说，你可以防御标普500的大幅波动，因为如果期货大幅下跌，熔断机制将被触发。理论上，你随后可以对冲或退出该结构。结果证明这是一个站不住脚的论点。现实是，期权做市商可能在崩盘期间撤回报价，让你对 应该在哪里交易毫无概念。波动率可能已经上升到你的结构严重不利的位置。这就引出了我们将在本书后面探讨的一个想法。既然 看起来人畜无害却充满危险，也许值得考虑做空它们。实际上几乎没人愿意这么做，这本身就应该是一种鼓励。年轻人没人想当管道工，但这可以是一份相当稳定且收入可观的职业。考虑到缺乏需求，做空 或许毕竟是定价合理的。事实上，在第4章中，我们将追踪一个特定的做空 比率价差组合的表现，并展示它作为极端事件对冲工具的有效性。
看跌和看涨梯式组合（ladder）与比率组合相似，区别在于你将做空的行权价分散开来。与其买入标普500的3个月1×2 2000/1900看跌比率组合，你可以买入3个月2000/1925/1850看跌梯式组合。更精确地说，你将买入1份2000看跌期权，卖出1份1925看跌期权和1份1850看跌期权。这种结构有三条不同的腿，而非两条：你买入1份2000看跌期权，并卖出1份1925看跌期权和1份1850看跌期权来对冲。如果你想把做空敞口分散在偏斜曲线上，而不是集中在单一的行权价上，你可以买入梯式组合。在图3.26中，我们在不同时间点上勾勒了2000/1925/1850看跌梯式组合的收益曲线。
图3.26 看跌梯式组合收益，扩展视图
从概念上讲，比率组合和梯式组合几乎是等同的，并暴露于类似的风险。购买它们时应保持适当的谨慎。
蝙蝠侠交易
有些交易从一个视角看无懈可击，而从另一个视角看却非常丑陋。双边比率价差组合就是这样一笔交易的绝佳例子。一些交易者根据到期收益的形状，将其称为"蝙蝠侠"结构。
虽然蝙蝠侠的标识多年来有所变化，但图3.27与1940年的原始标识类似。下方的图表涉及在交易价格为100的资产上，买入一份行权价100的跨式组合，同时卖出2份95/105宽跨式组合。该结构需要支付初始期权费，并在温和的上涨和下跌行情中产生正收益。
图3.27 双边比率价差组合（蝙蝠侠结构）的到期收益
让我们分析一个具体的例子。假设我们在2015年11月2日构建蝙蝠侠交易，聚焦于2015年12月到期的期货期权。我们可以买入一份2095跨式组合，并卖出2份2015/2145宽跨式组合，作为相对价值操作。该跨式/宽跨式组合也可以视为一对 比率价差组合。我们买入1份2095看跌期权，卖出2份2015看跌期权来对冲，同时还买入1份看涨期权，并卖出2份2145看涨期权来对冲ATM看涨期权。我们选择OTM行权价在交易入场时大约为25 delta。这确保该结构最初是delta中性的。我们将很快意识到，这笔交易的头寸规模是相当激进的。我们每100万美元的名义权益本金，买入了100份跨式组合并卖出了200份标普500 E-mini期货合约的宽跨式组合。对于中等规模的波动，12月10日的收益曲线看起来漂亮而平坦。如果非要说的话，这笔交易似乎偏向于看跌，因为在5周的周期内，如果指数缓慢下跌你将赚得更多。
通过这面透镜来看，该交易似乎是一个赢家。如图3.28所示，给定在[–6.50%, 4%]范围内的中间收益率，该策略的预期收益是强烈为正的。
图3.28 在一系列温和情景下的利润/损失曲线
然而，一旦我们扩展视角，蝙蝠侠交易看起来就远没有那么有吸引力了。从图3.29来看，潜在收益相对于极端事件损失而言是微不足道的。该结构比裸跨式组合"更安全"，因为你在对冲时有一些操作空间。然而，它仍然具有严重的无上限风险。
图3.29 蝙蝠侠收益：扩展视图——比率价差组合的黑暗内幕
我们观察到，蝙蝠侠交易恰好落入Taleb《反脆弱》中勾勒的类别之一。该结构喜欢一些无序，即从中间行权价向外一定程度的偏离。然而，过多的无序显然是毁灭性的。
现在我们可以看到潜伏在我们宁静家园之外的危险了。如果我们有一个庞大的资产负债表来支撑这种交易，我们应该能够在长期内获取适度的alpha。然而，我们不能操之过急。这种情况类似于备兑看涨期权卖出（covered call writing），读者对此可能更为熟悉。备兑看涨期权卖出有时被称为"buy-write"（买入-卖出）策略。这是一个简洁的描述：你买入某个股票指数，并卖出一份对应的看涨期权。"Write"在此语境中是卖出的同义词。Buy-write策略多年来被奉为alpha发生器（Feldman，2004）。然而，看涨期权的卖出激进程度是有上限的。过度卖出（overwriting）策略在回测中表现良好，但并非完全安全。假设我们持有标普500（见图3.30）。例如，我们可以卖出OTM 2%的看涨期权来对冲我们的做多指数头寸。这将允许我们每月收取一些收入，但仅有限度地参与标普的反弹。特别是，我们将从做空看涨期权中获取期权费，以及从指数上涨中获得最多2%的收益。在熊市中，我们的无上限风险与指数本身相同。然而，我们将预期从看涨期权中收取相对较多的期权费，因为隐含波动率会很高。这将使一连串的月度损失减少一个虽小但持续增大的金额。追踪该策略表现的BXM指数被广泛引用，自推出以来在风险调整基础上跑赢了标普500。
图3.30 Buy-write策略相对于静态做多指数头寸的表现
Buy-write中的alpha是从哪里产生的？它必定是做空看涨期权的成分，因为我们的头寸在其他方面与基准完全相同。做空看涨期权与指数呈负相关，因为其delta始终小于0。它也从以下倾向中受益：在没有极端事件的情况下，隐含波动率倾向于相对于已实现波动率偏高。这引出一个想法。如果所有alpha都来自做空看涨期权，我们为什么不在独立的基础上交易它呢？这个想法虽然诱人，但并不是一个特别好主意。如果我们创办一家胡乱卖出看涨期权的对冲基金，我们就不再享有持有指数所带来的分散化效果。我们还必须卖出大量看涨期权才能实现像样的收益。在利率接近0的环境里，没有藏身之处。我们在主经纪商处持有的超额现金不会产生任何收益。因此，如果我们想产生看起来体面的名义收益，很可能必须使用可观的杠杆。这个想法的问题在于，如果股票大幅上涨，我们的风险将升级。我们可能被迫以重大损失买回看涨期权。相比之下，如果我们只是针对一个资本充足的多头头寸卖出看涨期权，我们经过delta调整的风险在指数急剧反弹后实际上会下降。我们当月可能表现不佳，但终将有火力无限期地重新加载该策略。
让我们回到蝙蝠侠。假设我们每100万美元的权益资本只买入10个蝙蝠侠结构（将交易规模缩小到原来的十分之一）。那么，我们也许能够吸收偶尔发生的大幅回撤，而不必做出激进反应。然而，这只能使我们在每次加载该结构时以50至60个基点的收益为目标。一旦我们强行加码，添加杠杆以试图提高收益，我们就会对标的资产的短期价格波动变得脆弱。
隐含相关性与股票指数偏斜
本书毫不掩饰地具有宏观偏好，这源于作者的背景和投资哲学。不过，我们在此尝试稍微平衡一下。我们对股票指数波动率进行了长篇讨论，却对指数成分股的波动率只字未提。这从某种根本层面上看可能有些奇怪。没有构成指数的资产，指数便无以存在。然而，证据表明，在最紧要的关头，股票之间会同步运动。
类似的问题也出现在流体流动的分析中。波浪究竟是水分子的集合，还是一个独立的实体？两种模态都是正确的，这取决于你试图做什么。由于我们的目标是对冲大规模的行情波动，我们通常可以忽略股票指数实际上是由个股构成这一事实。就我们而言，指数是自身独立运动的。这一思想也体现在资本资产定价模型（CAPM）及其各种衍生模型中，其中股票的beta是参照"市场"来计算的。市场代理变量通常是一个广泛的股票指数，如MSCI世界指数。在CAPM中，市场被认为是一个外生变量，尽管在实践中它不过是一个加权后的股票集合。所以，当我们度量一只股票对市场的beta时，指数是否真的是自变量并不明显。
在严重下跌的市场中，这种模糊性不应该让我们过于困扰。在抛售期间，系统性风险往往主导个股的整体风险，因为几乎所有股票都是一起跌的。在清仓期间，指数期货往往领先于个股的运动，因为大型机构需要迅速调整其总体敞口。作为对冲者，我们试图利用那些恐慌时刻——当投资者不加区分、几乎愿意以任何价格购买保险的时刻。因此，从极端事件对冲的角度来看，宏观视角是恰当的。个股是车，指数是马。
然而，有时对指数成分股进行分析是有用的。在本节中，我们介绍条件相关的概念，并说明它如何影响指数隐含波动率偏斜的形状。虽然指数通常具有偏斜，但成分股通常具有微笑（smile）。隐含波动率在ATM行权价右侧更快上升。如果一只股票正处于强劲的上升趋势中，或是在公司事件（如财报发布）前夕，大幅正收益被赋予与大幅负收益几乎相当的概率。
指数偏斜与成分股偏斜的平均值形状截然不同，这可能看似令人费解。我们如何在成分股的微笑与指数的偏斜之间进行协调？答案在于一个有些模糊的量，称为条件相关。让我们考虑一个25 delta指数看跌期权的隐含波动率。大致来说，其波动率应当取决于每个25 delta成分股看跌期权的隐含波动率、成分股权重，以及假设指数跌至25 delta行权价时成分股之间的预期平均相关性。市场对指数的大幅下行赋予了逐步升高的相关性。这放大了OTM指数看跌期权的隐含波动率，同时抑制了OTM看涨期权的波动率。
CBOE创建了一些指数，追踪标普500中50只代表性股票在两个不同时间尺度上的"平均"隐含相关性。每个交易日，有两个年份版本被挂牌。每个对应的是次年1月到期的期权。CBOE指数采用了简化假设，即这50只股票之间的所有两两相关性都相等。这使他们能够精确解出指数的隐含相关性。图3.31探讨了标普500周度收益率与隐含相关性百分比变化之间的关系。我们聚焦于2017年1月到期的年份版本，使用从2015年1月到2016年3月的周度数据。每当指数下跌时，市场就会上调对个股两两相关性的估计。
图3.31 隐含相关性随标普下跌而上升
涨跌比率（advance/decline ratios）可以让我们大致了解底层的动力学。这些比率度量的是在给定时间段内上涨的成分股数量相对于下跌的成分股数量。在严重下跌的日子里，涨跌比率往往非常低。几乎所有股票都一起下跌。更一般地，在熊市中，个股层面的特定风险相对于更广泛的宏观图景而言相形见绌。指数成分股之间的交叉相关性很高。相反，强劲的市场反弹可能由相对较窄的多数股票驱动。1999年，纳斯达克综合指数取得了令人瞠目结舌的+85.6%的回报。令人震惊的是，该指数中有一半的股票平均收益为–32%，而另一半则翻了一倍！按照这一粗略度量，成分股之间的平均两两相关性是低的。
我们可以直接从一组成分股的微笑来构建偏斜，如图3.32所示。这个例子有些人为设想的成分，但阐明了我们的观点。假设我们有一个只包含2只股票的指数。这两只股票在指数中权重相等，并具有完全相同的隐含波动率微笑。我们使用"微笑"而非偏斜，因为波动率在远离ATM行权价的两个方向上都会上升。
图3.32 指数中每只股票的对称"微笑"
这两种资产存在一个相关性偏斜，如图3.33所示。在实践中，我们必须根据指数及每个成分股的隐含波动率，求解出每个指数delta对应的隐含相关性。但在这里，我们假设相关性偏斜是已知的。这简化了论述。
图3.33 假设的隐含相关性偏斜
在图3.34中，市场对大幅下行赋予了逐步增高的相关性。然后，我们可以在每个指数delta处应用投资组合方程，以近似地得出指数偏斜。具体而言，假设资产1的隐含波动率为σ_1，资产2的隐含波动率为 ，权重为 ，ρ为条件相关性。那么，对于给定的delta，指数隐含波动率σ满足 。
图3.34 通过隐含相关性将成分股微笑映射为指数偏斜
每只股票都有一个温和的波动率微笑，在ATM波动率周围呈对称的"V"形。然而，指数偏斜却是温和向下倾斜的。如果ρ足够大，上述投资组合方程中的ATM交叉乘积项 可以将一组成分股的看涨微笑转化为指数偏斜。注意我们在示例中以某种非常规方式使用了投资组合方程。在这个例子中，我们假设实际上存在三个不同的投资组合方程，分别适用于偏斜的不同区段。这在理论上是不"正确"的，这与隐含波动率偏斜违反Black–Scholes中恒定波动率假设是同一类情况。
如果存在偏斜，市场正在暗示，指数成分股之间的平均相关性应当依赖于指数近期的走势。在一次严重下跌之后，瞬时相关性应当比正常情况更高。类似的推理适用于隐含波动率偏斜，即偏斜预测如果指数下跌，瞬时波动率将上升。我们可以通过使用CBOE发布的隐含相关性指数来检验我们的假设（见图3.35）。该序列可以追溯到2007年1月。我们拼接了CBOE的数据，生成了单一的时间序列，在每年11月中旬从前一个1月年份版切换至下一个1月年份版。应当很清楚地看到，在指数抛售期间，市场赋予较高的交叉相关性。
图3.35 CBOE隐含相关性偏斜以回溯收益率条件
另一个要点涉及严重熊市期间的群体疯狂。在图表左上象限，有若干实例中平均隐含相关性超过了100%！根据定义，实际的相关性永远不可能超过100%，所以这在理论上是荒谬的。假设CBOE模型至少是现实的一个合理近似，这表明在2008年的黑暗日子里，指数期权相对于成分股期权被严重地、非理性地高估了。投资者对个股之间的两两关系并不敏感。这些是细枝末节的问题，因为生存斗争是他们心中最优先的事。
从比率组合到蝶式组合
我们希望我们已经打消了读者大规模买入比率价差组合并仅仅寄望于好运的想法。我们在第1章描述过的"飞机票交易"心态有一种令人讨厌的倾向——以眼泪收场。你当然可以相对于你的资产负债表规模少量买入几个。然而，如果你想以偏斜交易"拉满仓位"，非对称的蝶式组合（butterfly）是更可取的选择。一份看跌蝶式组合不过是一份1×2看跌比率组合再加一份更远OTM的看跌期权。这减少了纯1×2中的部分theta，但消除了对极端事件的敞口。你的持有收益降低了，但你为结构增添了安全边际。我们在图3.36中勾勒了一个对称看跌蝶式组合的到期收益。假设的蝶式组合中各行权价之间是等距的。
图3.36 假设的看跌蝶式组合，到期收益
在图3.37和3.38中，我们考察了固定宽度的看跌蝶式组合的成本如何随隐含波动率偏斜的变化而变化。我们从偏斜是平坦的（即隐含波动率独立于行权价）这一简化假设开始。假设现货价格为100。该蝶式组合由30天到期的看跌期权构建，行权价分别为OTM 0%、5%和10%。然后，我们可以在一系列隐含波动率下对该蝶式组合定价。在波动率为0%的奇异极限下，该蝶式组合应当是免费的，因为每条腿都一文不值。然而，这是一个无趣的案例，因为冻结的市场不需要对冲。更有趣的是考察在你在实践中实际可能遇到的波动率区间内，看跌蝶式组合的成本如何变化。
图3.37 一种在波动率上升时反而变便宜的防御性结构
图3.38 偏斜变陡对看跌蝶式组合成本的影响
在我们的例子中，当波动率跨越大约16%后，蝶式组合的成本随波动率的上升反而变得更便宜。这意味着你可以创建出在构建时点实际上偏好高波动率的温和看跌结构！虽然看跌价差组合明确地变得更贵，但一个宽度适中的蝶式组合实际上随着波动率的上升而变便宜。乍一看这可能并不明显。毕竟，你正在买入一份远OTM看跌期权来覆盖你的风险，而这个看跌期权必定对偏斜的陡峭程度是敏感的。然而，远OTM看跌期权的vega相对较小。此外，在远OTM行权价处，vega的下降速率非常快。如果中间行权价在波动率调整的意义上"足够"近，该蝶式组合将是净做空波动率的。中间行权价的做空vega压过了近端和远端行权价的做多vega。随着时间的推移，如果现货价格不变，固定宽度的蝶式组合vega会增加，并最终变为正值。看跌蝶式组合是慢速燃烧型的对冲工具。中间行权价开始损失价值，蝶式组合转变为一个真正意义上的对冲工具。近端行权价的看跌期权主导了该结构。接近到期日时，随着近端行权价损失价值，vega会有所下降。然而，你仍然拥有相当可观的保护。在没有极端下跌行情的情况下，你本质上持有一个ATM看跌期权。你可以随时平仓底部的2个行权价，以确保一路向下的保护。
蝶式组合还（在成本上）受益于偏斜的变陡。我们在图3.38中展示了这一点，其中假设偏斜线性依赖于行权价。我们假设5% OTM看跌期权的隐含波动率始终为20%。然后，我们以相同的幅度分别扰动ATM和10% OTM看跌期权的隐含波动率，但方向相反。例如，如果10% OTM与ATM波动率之间的差值为5%，那么10% OTM、5% OTM和ATM的波动率将分别为22.5%、20%和17.5%。
接下来，我们展示了看跌偏斜变陡对上述固定宽度蝶式组合成本的影响。我们的扰动略微过度简化了问题，但阐明了核心思想。随着偏斜斜率变得越来越负，看跌蝶式组合会变得更便宜。特别是，我们假设偏斜是一条直线，并展示不同的斜率对蝶式组合成本的影响。当我们在不同斜率下变动时，10%、5%和0% OTM看跌期权行权价的平均隐含波动率保持恒定。通过这种方式，我们孤立了偏斜变陡对蝶式组合成本的影响。我们可以看到，即使所有行权价的平均隐含波动率保持不变，蝶式组合的成本仍然随偏斜变陡而下降。
我们在图3.39中展示了一个固定宽度看跌蝶式组合的vega如何随时间变化。该vega路径在某些情景中具有吸引力。假设你在抛售之后进入该蝶式组合。如果下跌行情暂时停滞，你的看跌蝶式组合会在距离到期日2到3周前越来越具有防御性。你实际上是在低调中完成了布局，现在持有一个相当有力量的对冲工具。
图3.39 固定宽度看跌蝶式组合的Vega轨迹
乍一看，我们似乎偶然发现了一种完美的"余震"对冲工具。该固定宽度的看跌蝶式组合具有负delta、有界的风险，并且以相对平静市场中的折价进行交易。一切都如此完美。然而，我们不应匆忙下结论。值得进一步仔细推敲这个结构。为什么蝶式组合会在风险状况恶化时变得更便宜？答案在于当OTM行权价离现货价格不太远时蝶式组合的vega特征。10%/5%/ATM蝶式组合在入场时是做空vega的，并且只有在接近到期日时才切换为做多波动率的特征。这意味着，至少在最初阶段，我们并不是真正在对冲。另一种理解固定宽度蝶式组合的角度是规模缩放。高波动率缩小了相邻行权价之间的距离，从而减少了你的保护区间。市场可以轻易击穿一个看似偏空的蝶式组合，从而放大了你的损失。交易者通常将蝶式组合视为一种缓慢消耗的工具。对于看跌蝶式组合，你持有温和的看跌偏向；对看涨蝶式组合，你期待温和的上涨。即使你的看跌蝶式组合以温和的负delta起步，你也不希望出现快速的下跌。理想情况下，标的资产将在当前附近徘徊一阵，让蝶式组合得以发展成为一个更具防御性的结构。最初，行权价等距的看跌或看涨蝶式组合算不上一个有效的对冲工具。它只是随着时间推移才演变成一个对冲工具。按照这一推理，你现在什么也不做，然后在将来某个时间点买入一个看跌或看涨价差组合也许会更好。然而，我们不应太快摒弃蝶式组合的思路，因为它为更安全的对冲提供了入口。我们可以轻松地将一个蝶式组合变形为一个保证在所有下行情景中都能赚钱的工具。如果我们把10% OTM行权价移动得稍近一些，蝶式组合的成本会增加，但结构会变得更有韧性。我们已经将看跌蝶式组合转化为了一种称为"非对称蝶式组合"（broken fly）的工具。各行权价不再对称摆放。该非对称蝶式组合确保，如果标的资产出现急剧下跌，我们至少能赚到一些。例如，如果我们在交易价格为100的资产上构建一个100/95/92非对称看跌蝶式组合，无论标的资产跌多深，我们都保证至少赚2个点。这使得我们能够在抛售持续时将行权价向下展期，从而兑现利润。
在图3.40中，我们勾勒了距到期日1天时USO的看跌非对称蝶式组合的收益。USO是一种交易所交易基金（ETF），追踪WTI原油期货滚动多头头寸的表现。我们选择USO是因为截至本文撰写时其偏斜相对陡峭。具体而言，该蝶式组合在2016年3月14日加载，到期日为2016年6月17日。看跌期权行权价分别为10.5、9和8。通过适当选择行权价，vega初始化为接近0。我们可以看到，该非对称蝶式组合在接近到期日时，对所有幅度足够大的下跌行情都产生了正利润。因此，这是一个真正具有防御性的结构，在标的下跌–10%左右时达到峰值收益。我们承认，接近到期日时，该结构对于超过–20%的下跌只能赚取极少的一点。然而，如果下跌发生在更早的时间点，该非对称蝶式组合的价值将高得多。仍有很大机会回摆到–10%的区间。
图3.40 USO非对称蝶式组合接近到期日的收益
既然固定宽度看跌蝶式组合的成本随ATM隐含波动率和偏斜的变动而下降，那么应该可以构建出价格随隐含波动率变化而保持相对恒定的非对称看跌蝶式组合。
读者可能已经注意到，我们对于类似 比率价差组合这种无上限结构考察的是绝对美元收益，而对于蝶式组合考察的是百分比收益。这并不矛盾。我们更倾向于对所有结构计算百分比收益，但我们意识到，对于你收到权利金入场或者你支付的期权费非常低的结构，百分比收益是没有意义的。
看涨蝶式组合（"fly"）可以用同样的方式构建。你只需要用一份更高行权价的看涨期权来覆盖1×2看涨比率组合的风险。虽然非对称看涨和看跌蝶式组合远比对称蝶式组合更常见，但大多数教科书似乎都对其一笔带过。考虑到最大的对冲基金产生的典型交易流，这是一个显著的遗漏。你可能会因若干理由而想要交易一个非对称蝶式组合。假设你有一个方向性观点，但担心你可能为时过早，且不清楚行情何时才会发生。事情可能需要一段时间来酝酿。例如，如果你从根本上对澳元偏空，你可以买入该货币的一份看跌蝶式组合。鉴于澳元的看跌偏斜，这笔交易的初始成本会很低。然而，随着时间推移，该结构的delta变得越来越负，因此你的潜在收益也在增加。我们警告不要盯着蝶式组合的最大收益。最大收益出现在到期日，且现货价格恰好落在中间行权价的时候。一些卖方研究员推销蝶式组合时挂着10:1甚至更高的收益比率（相对于初始支付的期权费）。这是我们的一点心头之痛，因为这种收益实际上是不可实现的。在大多数市场中，触及中间行权价的概率类似于抛出的硬币直立着地的概率。10:1的收益只有在持有至到期日时才能实现。大多数交易者不想承担如此多的做空gamma风险，因此在到期日前就会展期手里的蝶式组合。10:1是一个幻影般的比率，属于一个另类现实，而非我们所知的市场。
蝶式组合还提供了一种战术优势——如果你认为能够准确预判标的资产在到期日时的价格落点的话。在狭小区间内瞄准股票指数、大宗商品期货和非挂钩货币的价格落点几乎是不可能的。大致而言，这些市场按照随机游走演化，其中结果的范围随时间迅速扩张。到期日的价格可以在相当大的区间内取到合理的概率。然而，短期利率期货合约有时可以被精确瞄准，蝶式组合在此语境下才真正大放异彩。例如，联邦基金利率（Fed Funds rate）变动时通常以25或50个基点的幅度移动。作为参考，联邦基金期货基于银行可以在30天窗口内从联邦储备银行借款的利率。在短期利率接近0的情况下，即使25个基点在相对意义下也是一次大的离散变动。假设你认为美联储将在下一次会议上加息，而这并非市场的共识观点。你就可以构建一个成本低廉的窄幅蝶式组合，如果利率恰好上涨25个基点，该组合就能盈利。你可以将蝶式组合作为一个打包组合进行交易，从而压缩每条腿的买卖价差。在接近到期日时，有可能实现初始期权费数倍的收益。
交易看涨和看跌蝶式组合的最后一个理由可能也是最重要的。你想在风险有界的前提下，利用陡峭的隐含波动率偏斜来获利。股票指数（及其他"风险"资产）的看跌偏斜在抛售后通常会变陡，因为投资者在抬价抢购OTM保险。在某个时刻，你可能会判断偏斜已经过高，但不能确定市场是否会继续下跌。这时你可以买入一份看跌蝶式组合，假设偏斜平坦化时蝶式组合将会变便宜。在下图中，我们展示了1个月到期看跌蝶式组合的成本如何随看跌偏斜的陡峭程度而变化。在每种情况下，我们都买入1份ATM看跌期权，卖出2份OTM 5%的看跌期权，并用1份OTM 10%的看跌期权进行覆盖。根据构造，该蝶式组合的宽度并不依赖于波动率。你可以看到，随着偏斜变陡，蝶式组合以相当快的速率变得更便宜。
我们的结论是，非对称蝶式组合可以服务于各种目的，将方向、落点和偏斜的观点结合起来。为了完整性，我们简要回顾一下对称蝶式组合（"铁蝶式"组合，iron butterfly）。这种交易通常没有方向性或偏斜的成分。它只是试图利用市场高估了大幅上涨或下跌的概率这一观点。在结构上，铁蝶式是跨式组合空头与宽跨式组合多头的结合。其思路是：基于波动率被高估的假设做空一个跨式组合，然后买入一个宽跨式组合来限制交易中的风险。虽然宽跨式组合的成本与偏斜的陡峭程度有关，但大多数投资者对这一增量成本相对不敏感。主要关注点在于从ATM隐含波动率中提取收益。我们在图3.41中勾勒了铁蝶式组合在到期日的收益。它仅仅是本章前文中看跌蝶式组合图的平移版本。
图3.41 铁蝶式组合到期收益
假设宽跨式组合的行权价不太远，并且你距离到期日也不太近，收益曲线将相对平坦。这意味着你将不需要，或者最多只需要，非常积极地进行delta对冲。如果标的价格朝某个方向急剧运动，你总是可以展期进入一个新的对称蝶式组合。然而，在实践中，非对称蝶式组合远比铁蝶式更为常见。虽然它们看起来几乎相同，但非对称蝶式组合与对称蝶式组合具有截然不同的特性。非对称品种是一种偏斜交易。它是对ATM期权与OTM期权相对价格的下注。注意，随着偏斜变陡，OTM期权会变得更贵。非对称蝶式组合允许你在风险有界的前提下做空偏斜。相反，当你买入一个铁蝶式组合时，你实际上是偏斜的买方，试图限制你的下行风险。风险资产如股票指数和套利货币通常具有看跌偏斜，而债券在看跌偏斜和看涨偏斜之间摇摆不定。图3.42追踪了标普500 1个月到期的25与50 delta看跌期权隐含波动率之间的价差。
图3.42 标普500历史上的看跌偏斜
对于美国10年期国债期货，偏斜倾向于追踪最近一次大规模波动的方向，如图3.43所示。如果10年期国债出现持续的上涨行情，看涨偏斜就会形成；而在抛售期间，看跌偏斜则会出现。我们稍后将考察这个变色龙般的10年期偏斜。现在，我们只是绘制了25与50 delta看跌期权隐含波动率之间的差值。
图3.43 美国10年期国债期货历史上的看跌偏斜
日历价差组合
你能否构建一个做多gamma但做空vega的交易？这是初级交易者常见的脑筋急转弯。答案是肯定的，并且相当容易做到。你只需要买入一个短期ATM期权，并卖出一个更长期限的ATM期权。反之，如果你卖出一个短期ATM看跌期权并买入一个长期ATM看跌期权，你将是做空gamma并做多vega。任一方向使用看涨还是看跌期权都无关紧要，因为对于行权价相同的看涨和看跌期权，gamma和vega是相同的。你可以使用看跌/看涨平价公式来验证这一点，该公式将行权价相同的看跌和看涨期权的价格与远期的价格联系起来。
看跌/看涨平价论据
假设行权价为K、到期日为T的看涨和看跌期权在时刻 的价格分别为C(t)和P(t)。进一步假设贴现（利率）率r是常数。S(t)是t时刻的现货价格。那么 。等价地，。由于S和K*exp( –r(T – t))没有任何gamma或vega敞口，C和P必须具有相同的gamma和vega。注意S的delta等于1——一个常数，因此它的gamma为0。
让我们在对冲的语境中思考这个问题。你什么时候需要gamma，什么时候需要vega？两者都提供下行保护，虽然方式略有不同。这是我们在第4章将会探讨的关键问题。基本的直觉是：你想要在危机之前买入vega，在危机之后买入gamma。一旦波动率已经飙升，再关注vega也许就太晚了。市场可能已经将极端事件风险定价到了期权费之中。
我们可以通过考察一个特定的日历价差组合结构（见图3.44）来更深入地理解gamma与vega之间的相互作用。假设波动率期限结构是向上倾斜的。你认为5个月到期的期权相对于1个月到期的期权偏高，因此你卖出100份5个月25 delta看跌期权，并买入1份1个月25 delta看跌期权。该交易具有"蝙蝠侠"类型的特征。如果波动率保持恒定，它看起来美妙极了。你收取了可观的期权费，并且由于卖出的行权价距离现货较远，看起来存在一定的安全边际。
图3.44 日历价差组合收益，固定波动率假设
假设你决定通过卖出6个月25 delta看跌期权并买入1个月25 delta看跌期权来进行此操作。这笔交易看起来安全，因为近月行权价比6个月行权价距离现货要近得多。但这是一个极其混乱的结构，因为你同时暴露于偏斜效应和期限结构效应。变动部件太多了。但如果标普500在前3周反弹然后暴跌呢？虽然指数可能不会触及1个月25 delta的行权价，但波动率可能在一系列到期日上急剧上升。这将极为不利，因为你在近月端赚不到任何东西，而在更长期限的看跌期权上将遭受重大打击。在恒定波动率假设下绘制的情景收益，完全不能揭示这笔交易中的风险。
回想一下，当我们将视角扩大、将标的资产向任一方向发生的极大波动纳入其中时，蝙蝠侠交易就会从安全变为可怕。类似地，日历价差（或"水平"价差）在我们提升波动率时才会显现出它的真面目（见图3.45）。接近到期日时，我们不能仅仅因为1个月行权价比6个月行权价更近就期望以盈利平仓。任何波动率的上升都将对更长期限的看跌期权产生巨大影响。最坏的情景对应的是波动率被重新定价，而现货价格没有实质性的变动。这可能在1个月看跌期权接近到期日时导致巨大的盯市损失。
图3.45 日历价差组合盈亏图，假设波动率发生平行位移
总结
你的经纪人会赞同拿破仑在《动物农场》中的口号："四条腿好，两条腿坏"。腿数越多，佣金越高。无论如何，在你的观点与合适的期权结构之间存在相当明确的映射关系。
- 如果你看多，买入纯看涨期权。如果你看空，买入纯看跌期权。
- 如果你极度看多，你可以将风险逆转作为一种"德州对冲"来使用。你买入一个看涨期权并卖出一个看跌期权，将你对标的资产的敞口翻倍，同时从看跌偏斜中获益。
- 反之，如果你偏谨慎，或不愿在波动率高企时支付高昂期权费，你可以买入一个看涨价差组合或看跌价差组合。
- 如果看跌偏斜变得比你认为的合理水平更陡，买入一个1×2看跌比率组合或一个看跌梯式组合。对于股票和风险货币，偏斜通常在抛售后变陡，因此你是在押注市场回归正常。
- 如果偏斜的某一边看起来非常陡峭，但你不想承担无上限的风险，则买入一个看跌或看涨蝶式组合。
- 除非你善于管理投资组合中的gamma风险，否则不要大量交易蝙蝠侠结构。即使如此，也要小心行事。